Comment exprimer un en fonction de n

On considère la suite (un)(u_n) définie par u0=1u_0=1 et pour tout entier naturel nn :

un+1=unun+1 u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+1}

Le but de cet exercice est de déterminer une formule donnant unu_n en fonction de nn.

On utilisera une méthode différente dans chacune des parties.

Première méthode : Raisonnement par récurrence

1. Calculer les valeurs de u1u_1, u2u_2 , u3u_3 et u4u_4.
   Conjecturer l'expression de unu_n en fonction de nn.

2. Démontrer, par récurrence, la conjecture faite à la question précédente.

Deuxième méthode : utilisation d'une suite annexe

1. Montrer que la suite (vn)(v_n) est une suite arithmétique dont on déterminera le premier terme et la raison.

2. En déduire l'expression de vnv_n puis celle de unu_n en fonction de nn.

Corrigé

Première méthode : Raisonnement par récurrence

1. u1=u0u0+1=12u_1 =\dfrac{u_0}{u_0+1}= \dfrac{1}{2}
   u2=u1u1+1=1/23/2=13u_2 =\dfrac{u_1}{u_1+1}= \dfrac{1/2}{3/2}=\dfrac{1}{3}
   u3=u2u2+1=1/34/3= 14u_3 =\dfrac{u_2}{u_2+1}= \dfrac{1/3}{4/3}=\dfrac{1}{4}
   u4=u3u3+1=1/45/4=15u_4 =\dfrac{u_3}{u_3+1}= \dfrac{1/4}{5/4}=\dfrac{1}{5}

   Les résultats précédents laissent présager que pour tout entier naturel n n :

   un=1n+1 u_n=\dfrac{1}{n+1}

2. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel nn :

   un=1n+1 u_n=\dfrac{1}{n+1}

   Initialisation :

   u0=1=10+1u_0=1=\dfrac{1}{0+1}

   La propriété est donc vraie au rang 00.

   Hérédité :

   Supposons que, pour un certain entier nn, un=1n+1 u_n=\dfrac{1}{n+1} et montrons que un+1=1n+2u_{n+1}=\dfrac{1}{n+2} :

   un+1=unun+1u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+1} (d'après l'énoncé)

   u n+1=1/(n+1)1+1/(n+1)\phantom{u_{n+1}}=\dfrac{1/(n+1)}{1+1/(n+1)} (hypothèse de récurrence)

   un+1=1/(n+1)(n+1)/(n+1)+1/(n+1) \phantom{u_{n+1}}=\dfrac{1/(n+1)}{(n+1)/(n+1)+1/(n+1)}

   un+1=1/(n+1)(n+2)/(n+1)\phantom{u_{n+1}}=\dfrac{1/(n+1)}{(n+2)/(n+1)}

   un+1=1n+2.\phantom{u_{n+1}}=\dfrac{1}{n+2}.

   La propriété est donc héréditaire.

   Conclusion :

   On en déduit, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier naturel nn :

   un=1n+1. u_n=\dfrac{1}{n+1}.

Deuxième méthode : utilisation d'une suite annexe

1. Pour montrer que la suite ( vn)(v_n) est arithmétique, montrons que vn+1−vnv_{n+1} - v_n est constant.

   D'après l'énoncé, pour tout entier naturel nn :

   vn+1−vn=1un+1 −1unv_{n+1} - v_n = \dfrac{1}{u_{n+1}} - \dfrac{1}{u_n}

   vn+1−vn=1u n/(un+1)−1un\phantom{v_{n+1} - v_n} = \dfrac{1}{u_n/(u_n+1)} - \dfrac{1}{u_n}

   vn +1−vn=un+1un−1un\phantom{v_{n+1} - v_n} = \dfrac{u_n+1}{u_n} - \dfrac{1}{u_n}

   vn+1−vn=unun=1.\phantom{v_{n+1} - v_n} = \dfrac{u_n}{u_n} = 1.

   La suite (vn)(v_n) est donc une suite arithmétique de raison r=1r=1.

   Son premier terme est :
   v0=1u0=1.v_0=\dfrac{1}{u_0}=1.

2. On en déduit donc que pour tout entier naturel nn :

   vn=v0+nr=1+n.v_n=v_0+nr=1+n.

   Par conséquent, pour tout entier naturel nn : un=1vn=1n+1.u_n=\dfrac{1}{v_n}=\dfrac{1}{n+1}.